1. Hệ thức giữa cạnh góc vuông với hình chiếu của nó trên cạnh huyền
Trong tam giác vuông, bình phương mỗi cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền và hình chiếu của cạnh góc vuông bên trên cạnh huyền.
Bạn đang xem: Một số hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
Trong tam giác ABC vuông trên A ta có: b2 = a.b"; c2 = a.c"
2. Một số trong những hệ thức liên quan đến con đường cao
a) Định lý 1
vào một tam giác vuông, bình phương mặt đường cao ứng với cạnh huyền bởi tích hai hình chiếu của cạnh góc vuông bên trên cạnh huyền
vào tam giác ABC vuông tại A ta có: h2 = b".c".
b) Định lý 2
vào một tam giác vuông, tích của hai cạnh góc vuông bằng tích của cạnh huyền với con đường cao tương ứng
trong tam giác ABC vuông tại A ta có: a.h = b.c
c) Định lý 3
trong tam giác vuông, nghịch hòn đảo của bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tổng những nghịch hòn đảo của bình phương nhị cạnh góc vuông.
trong tam giác ABC vuông tại A ta có:
3. Các dạng toán hay gặp về một số hệ thức về cạnh và con đường cao vào tam giác vuông
Dạng 1: Tính độ dài những đoạn trực tiếp trong tam giác vuông
Phương pháp giải: đến tam giácABC vuông trên A, đường cao AH. Nếu biết độ lâu năm hai trong sáu đoạn thẳng AB, AC, BC, HA, HB, HC thì ta luôn luôn tính được độ dài tứ đoạn thẳng còn lại bằng câu hỏi vận dụng những hệ thức (1)→(5)
Dạng 2: Chứng minh các hệ thức liên quan đến tam giác vuông
Phương pháp giải: Sử dụng các hệ thức về cạnh và con đường cao một cách hợp lý và phải chăng theo hướng:
Bước 1. Chọn những tam giác vuông tương thích chứa những đoạn thẳng gồm trong hệ thức.
Bước 2. Tính các đoạn thẳng đó nhờ hệ thức về cạnh và mặt đường cao.
Bước 3. Liên kết những giá trị trên để rút ra hệ thức nên chứng minh.
Chú ý: có thể vẽ thêm hình phụ để sinh sản thành tam giác vuông hoặc sinh sản thành con đường cao vào tam giác vuông từ đó vận dụng những hệ thức.
4. Ví dụ cụ thể
Cho tam giác ABC vuông trên A, con đường cao AH. Biết AB:AC = 3:4 và AB + AC = 21cm.
a) Tính các cạnh của tam giác ABC.
b) Tính độ dài các đoạn AH, BH, CH.
Hướng dẫn:
Do kia AB = 3.3 = 9 (cm); AC = 3.4 = 12 (cm).
Tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Py – ta – go ta có:
BC2 = AB2 + AC2 = 92 + 122 = 225, suy ra BC = 15cm
b) Tam giác ABC vuông tại A, ta bao gồm AH.BC = AB.AC, suy ra
AH2 = BH.HC. Đặt bảo hành = x (0 2 = x(15 - x) ⇔ x2 - 15x + 51,84 = 0 ⇔ x(x - 5,4) = 9,6(x - 5,4) = 0 ⇔ (x - 5,4)(x - 9,6) = 0 ⇔ x = 5,4 hoặc x = 9,6 (loại)
Vậy bh = 5,4cm. Từ kia HC = BC - bh = 9,6 (cm).
Chú ý: Có thể tính bh như sau:
AB2 = BH.BC suy ra
5. Bài bác tập tự luận
Bài 1: Tính x, y trong số trường hòa hợp sau
Hướng dẫn giải
a, Áp dụng định lý py-ta-go vào tam giác vuông ABC có:
BC2= AB2+ AC2
BC2= 52+ 72
BC2= 74
Suy ra BC = √74
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giac vuông ABC: AB2 = BD.BC
=> BD = AB2/BC => x = 25/√74
DC = BC - BD = √74 - 25/√74 = 49/√74
Vậy x = 25/√74 cùng y = 49/√74
b) Ta có: BC= BD + DC = 2 + 6 = 8
Áp dụng hệ thức lượng ta có:
AB2= BD.BC = 2.8 = 16. Suy ra AB = 4 tuyệt x = 4.
AC2= DC.BC = 6.8 = 48. Suy ra AC = √48 hay y = √48
Bài 2: Cho tam giác ABC vuông tại A, mặt đường cao AH. Tính BC, AC, AH biết AB = 15cm, HC = 16cm.
Hướng dẫn giải
Áp dụng hệ thức lượng vào tam giác vuông ABC có:
AC2 = CH.BC = 16.BC
AB2 + AC2 = BC2
⇔ 152 + 16.BC = BC2
⇔ BC2 - 16.BC - 225 = 0
⇔ BC2 - 25BC + 9BC - 225 = 0
⇔ BC(BC - 25) + 9(BC - 25) = 0
⇔ (BC - 25)(BC + 9) = 0
⇔ BC = 25 hoặc BC = -9(loại)
=> AC2 = 16.BC = 16.25 = 400
=> AC = 20
+ Xét tam giác vuông ABC có: AH.BC = AB.AC (hệ thức lượng)
Vậy BC=25(cm); AC=20(cm); AH=12(cm)
Bài 3: Cho tam giác ABC bao gồm AB = 48cm, BC = 50cm, AC = 14cm. Tính độ nhiều năm phân giác giác góc C
Hướng dẫn giải
Xét tam giác ABC, ta có
BC2 = 502 = 2500
AB2 + AC22 = 142 + 482 = 2500
=> BC2 = AB2 + AC2
=> Tam giác ABC vuông trên A
Có DA/DB = CA/CB = 14/50 = 7/25 (tính chất tia phân giác)
=> DB = 25/7 DA.
Xem thêm: Hr Business Partner Là Gì ? Tại Sao Doanh Nghiệp Bạn Cần Tới Hrbp?
Ta bao gồm DA + DB = AB
⇔ domain authority + 25/7 domain authority = AB ⇔ DA. 32/7 = 48 ⇔ domain authority = 10,5cm
Xét tam giác vuông ACD, theo đinh lí Pi-ta-go ta có
CD2 = AC2 + AD2 = 142 + 10,52 = 306,25 => CD = 17,5cm
Bài 4: Cho tam giác ABC vuông tại A, AB=24cm, AC=32cm. Đường trung trực của BC cắt AC, BC theo đồ vật tự D và E. Tính DE.